Proprietés Géométriques Relatives Et Groupes Définissables

Un groupe stable est dit monobasé si tout ensemble définissable est combinaison booléenne de cossettes de sous-groupes définissables. Cette propriété géométrique généralise celle des géométries projectives associées aux espaces vectoriels. La démonstration modèle-théorique de la conjecture de Mordell-Lang pour le cas de corps de fonctions [7] consiste à remplacer le groupe de type fini pour un sous-groupe définissable dans un langage enrichi telle que la structure induite soit monobasée. Rappelons qu’être monobasé empêche l’existence de pseudo-plans, une version faible du plan euclidien. Les structures qui interprètent un pseudo-plan sont dites 1-ample, et cette configuration peut être généralisée pour chaque n : une géométrie n-ample correspond à l’existence d’un pseudo-espace en dimension n. Notons qu’un corps algébriquement clos est n-ample pour tout n. E. Hrushovski a construit une nouvelle structure fortement minimale (appelée ab initio [6]) qui n’est pas monobasée et n’interprète pas de corps. En fait, cette structure a une première propriété géométrique, appelée platitude, qui interdit l’existence de groupes infinis définissables. La platitude implique la CM-trivialité, propriété géométrique qui généralise celle d’être monobasé et qui empêche d’avoir des configurations de point-droite-plan (pseudo-espaces), configurations présentes dans les corps infinis et les mauvais groupes. Avec les mêmes techniques que pour ab initio, E. Hrushovski introduit la fusion de deux (ou plusieurs) théories fortement minimales [5]. Il affirme alors que la fusion est relativement plate sur les théories de base, sans donner de définition précise de cette notion. La motivation de cette recherche est l’étude des groupes définissables dans le mauvais corps construit en 2006 [1]. Avant collapse, il est facile de montrer que tout groupe définissable connexe est l’extension d’un sous-groupe coloré par un groupe algébrique, puisque la clôture algébrique de la structure non-collapsée équivaut à la clôture autosuffisante. Ce fait n’est plus vrai après collapse, par exemple, le